Print Export to file (MS Word)
Name of course:
Analiza matematyczna 2
Coordinator of course:
Dr hab. Anna Dembińska, Dr hab. Bogusława Karpińska
Type of course:
Compulsory
Level of education:
First cycle studies
Programme:
Inżynieria i Analiza Danych
Group of courses:
.
Code of course:
1120-IN000-ISP-0009
Nominal semester:
2 / AY 2019/2020
Number of ECTS credits:
6
Number of hours of student’s work to achieve learning outcomes:
1. godziny kontaktowe –95 h; w tym a) obecność na wykładach – 45 h b) obecność na ćwiczeniach – 45 h c) konsultacje – 5 h 2. praca własna studenta – 70 h; w tym a) przygotowanie do ćwiczeń i kolokwiów– 45 b) zapoznanie się z literaturą – 10 h c) przygotowanie do egzaminu i obecność na egzaminie – 15 h Razem 165 h, co odpowiada 6 pkt ECTS
Number of ECTS credits on the course with direct participation of academic teacher:
1. obecność na wykładach – 45 h 2. obecność na ćwiczeniach – 45 h 3. konsultacje – 5 h Razem 95 h, co odpowiada 4 pkt. ECTS
Language of course:
polish
Number of ECTS credits on practical activities on the course:
.
Form of didactic studies and number of hours per semester:
  • Lecture45h
  • Exercise type of course45h
  • Laboratory0h
  • Project type of course0h
  • Computer lessons0h
Preliminary requirements:
Analiza matematyczna 1 Algebra liniowa z geometrią
Limit of students:
Ćwiczenia – 30 os. /grupa
Purpose of course:
Celem przedmiotu jest zapoznanie studentów z własnościami przekształceń ciągłych przestrzeni metrycznych i unormowanych, badaniem zbieżności szeregów liczbowych i funkcyjnych, obliczaniem granic i pochodnych cząstkowych funkcji wielu zmiennych, badaniem ich ekstremów oraz liczeniem całek wielokrotnych Riemanna. Po ukończeniu kursu studenci powinni znać własności: normy, metryki i odwzorowań zwężających w przestrzeniach metrycznych zupełnych. Powinni mieć podstawową wiedzę z zakresu szeregów potęgowych i trygonometrycznych Fouriera, rachunku różniczkowego i całkowego funkcji wielu zmiennych oraz posiadać umiejętność : - badania zbieżności szeregów liczbowych i funkcyjnych - liczenia granic i pochodnych cząstkowych funkcji wielu zmiennych - badania ekstremów funkcji wielu zmiennych - liczenia całek wielokrotnych Riemanna.
Contents of education:
Suma całkowa, definicja całki Riemanna. Górna i dolna całka Darboux. Twierdzenia o funkcjach całkowalnych w sensie Riemanna. Własności całki Riemanna. Interpretacja geometryczna całki Riemanna. Definicja całki oznaczonej i jej własności. Twierdzenie główne rachunku całkowego. Wzór Newtona-Leibniza. Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie. Twierdzenie o całkowaniu przez części. Twierdzenie o wartości średnie rachunku całkowego. Wzory rekurencyjne dla pewnych całek oznaczonych. Definicja całki niewłaściwej I rodzaju, wartość główna całki. Definicja całki niewłaściwej II rodzaju. Obliczanie pól obszarów normalnych. Obliczanie długości łuku prostowalnego. Obliczanie pól i objętości brył obrotowych. Definicja szeregu liczbowego, jego sumy częściowej i sumy szeregu. Szereg Dirichleta i szereg geometryczny. Warunek konieczny zbieżności szeregu. Kryterium porównawcze zbieżności szeregu o wyrazach nieujemnych. Szeregi o wyrazach dowolnych, zbieżność bezwzględna. Kryterium Cauchy’ego i kryterium D’Alamberta zbieżności szeregu. Szeregi naprzemienne, kryterium Leibniza, zbieżność warunkowa. Zamiana kolejności sumowania w szeregach. Twierdzenie Riemanna. Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu funkcyjnego. Własności ciągów jednostajnie zbieżnych. Szereg funkcyjny punktowo i jednostajnie zbieżny. Kryterium Weierstrassa. Całkowanie i różniczkowanie szeregu funkcyjnego wyraz po wyrazie.Twierdzenie Abela. Promień zbieżności szeregu potęgowego, twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda. Całkowanie i różniczkowanie szeregu funkcyjnego wyraz po wyrazie. Szereg Taylora i Maclaurina. Rozwijanie funkcji w szereg Taylora. Rozwinięcie funkcji eksponencjalnej, sinus i cosinus w szereg Maclaurina. Wzory Eulera. Szereg trygonometryczny Fouriera. Warunki Dirichleta. Twierdzenie Dirichleta. Rozwijanie funkcji w szereg sinusów i cosinusów. Definicja metryki. Przykłady różnych metryk. Definicje kuli, sfery, odległość punktu od zbioru. Zbieżność w przestrzeniach metrycznych. Zupełność. Iloczyn skalarny. Ortogonalność. Definicja normy i jej własności. Twierdzenie Banacha o punkcie o punkcie stałym. Metoda kolejnych przybliżeń. Zbiory otwarte, domknięte, przestrzenie topologiczne. Zbiory gęste. Zbiory zwarte. Spójność. Granice i ciągłość funkcji wielu zmiennych. Funkcja różniczkowalna, pochodna kierunkowa, pochodne cząstkowe, gradient funkcji. Zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych. Pochodne i różniczki wyższych rzędów. Twierdzenie Schwarza. Różniczkowanie funkcji złożonej jednej i wielu zmiennych. Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych. Warunek konieczny istnienia ekstremum. Warunki wystarczające do istnienia ekstremum funkcji wielu zmiennych. Wartości największe i najmniejsze funkcji wielu zmiennych. Określenie funkcji uwikłanej wielu zmiennych. Twierdzenie o istnieniu funkcji uwikłanej. Twierdzenie o pochodnej funkcji uwikłanej. Warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum funkcji uwikłanej jednej zmiennej. Funkcja wektorowa jednej zmiennej, ciągłość i różniczkowalność. Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji wektorowej. Funkcja wektorowa wielu zmiennych, ciągłość i różniczkowalność. Wykresy funkcji wektorowych – opis powierzchni. Macierz Jakobiego. Jakobian przekształcenia. Współrzędne biegunowe, walcowe i sferyczne. Płat regularny i płaszczyzna styczna do płata zadanego w postaci jawnej i parametrycznej. Definicja i własności operatorów różniczkowych gradientu, diwergencji i rotacji. Określenie pól bezwirowych, bezźródłowych i potencjalnych. Wyznaczanie potencjału. Miara Jordana w R^n. Definicja i własności całki Riemanna. Obszary normalne. Całki iterowane. Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie. Całki podwójne i potrójne. Interpretacja geometryczna całki podwójnej i potrójnej. Definicja całki krzywoliniowej niezorientowanej i jej interpretacja geometryczna. Twierdzenie o zamianie całki krzywoliniowej niezorientowanej na całkę oznaczoną. Definicja całki powierzchniowej niezorientowanej i jej interpretacja geometryczna. Twierdzenie o zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę podwójną. Definicja całki krzywoliniowej zorientowanej i jej interpretacja fizyczna. Twierdzenie o zamianie całki krzywoliniowej zorientowanej na całkę oznaczoną. Definicja całki powierzchniowej zorientowanej i jej interpretacja fizyczna . Twierdzenie o zamianie całki powierzchniowej zorientowanej na całkę podwójną. Twierdzenie Greena. Twierdzenie Stokesa. Twierdzenie Gaussa-Ostrogradzkiego.
Methods of evaluation:
W semestrze odbywają się trzy kolokwia punktowane w skali od 0 do 15 punktów każde oraz trzy kartkówki punktowane w skali od 0 do 2 punktów. Punktowana jest także aktywność na ćwiczeniach, za którą można uzyskać od 0 do 9 punktów. Łącznie za ćwiczenia można uzyskać od 0 do 60 punktów. Do zaliczenia ćwiczeń wymagane jest zdobycie co najmniej 30 punktów. Semestr kończy się zaliczeniem ćwiczeń i egzaminem. Do egzaminu może przystąpić każdy student, który uczęszczał na ćwiczenia. Egzamin punktowany jest w skali od 0 do 60 punktów i składa się z dwóch części: części zadaniowej i teoretycznej; za każdą z tych części można otrzymać maksymalnie 30 punktów. Egzamin uznaje się za zdany jeśli spełnione są jednocześnie dwa warunki: (1) ilość punktów za część teoretyczną jest większa lub równa 15, (2) suma punktów z ćwiczeń, części zadaniowej i części teoretycznej egzaminu jest większa lub równa 61. Łączną ocenę punktową studentów przelicza się na stopnie według poniższych zasad: a) 3.0 jeżeli uzyskali od 61 do 70 pkt. b) 3.5 jeżeli uzyskali od 71 do 80 pkt. c) 4.0 jeżeli uzyskali od 81 do 90 pkt. d) 4.5 jeżeli uzyskali od 91 do 105 pkt. e) 5.0 jeżeli uzyskali powyżej 105 pkt.
Exam:
yes
Literature:
1. F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, wyd. XVII, PWN, Warszawa, 2012. 2. W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa, 1978.
Website of the course:
e.mini.pw.edu.pl
Notes:
.

Effects of education

General academic profile - knowledge

Charakterystyka W01
.
Verification: .
Field of study related learning outcomes: DS_W01
Area of study related learning outcomes: I.P6S_WG
Charakterystyka W02
.
Verification: .
Field of study related learning outcomes: DS_W01
Area of study related learning outcomes: I.P6S_WG
Charakterystyka W03
.
Verification: .
Field of study related learning outcomes: DS_W01
Area of study related learning outcomes: I.P6S_WG
Charakterystyka W04
.
Verification: .
Field of study related learning outcomes: DS_W01
Area of study related learning outcomes: I.P6S_WG

General academic profile - skils

Charakterystyka U01
.
Verification: .
Field of study related learning outcomes: DS_U01, DS_U09, DS_U15
Area of study related learning outcomes: I.P6S_UW
Charakterystyka U02
.
Verification: .
Field of study related learning outcomes: DS_U01, DS_U09, DS_U15
Area of study related learning outcomes: I.P6S_UW
Charakterystyka U03
.
Verification: .
Field of study related learning outcomes: DS_U01, DS_U09, DS_U15
Area of study related learning outcomes: I.P6S_UW
Charakterystyka U04
.
Verification: .
Field of study related learning outcomes: DS_U01, DS_U09, DS_U15
Area of study related learning outcomes: I.P6S_UW