- Nazwa przedmiotu:
- Podstawy analizy stochastycznej
- Koordynator przedmiotu:
- Prof. dr hab. Jacek Jakubowski
- Status przedmiotu:
- Obowiązkowy
- Poziom kształcenia:
- Studia II stopnia
- Program:
- Matematyka
- Grupa przedmiotów:
- Wspólne
- Kod przedmiotu:
- 1120-MAMUF-NSP-0001
- Semestr nominalny:
- 1 / rok ak. 2017/2018
- Liczba punktów ECTS:
- 6
- Liczba godzin pracy studenta związanych z osiągnięciem efektów uczenia się:
- 1. godziny kontaktowe – 70 h; w tym
a) obecność na wykładach – 30 h
b) obecność na ćwiczeniach – 30 h
c) obecność na egzaminie – 5 h
d) konsultacje – 5 h
2. praca własna studenta – 85 h; w tym
a) przygotowanie do ćwiczeń i do kolokwiów – 30 h
b) zapoznanie się z literaturą – 15 h
c) przygotowanie do egzaminu – 40 h
Razem 155 h, co odpowiada 6 pkt. ECTS
- Liczba punktów ECTS na zajęciach wymagających bezpośredniego udziału nauczycieli akademickich:
- a) obecność na wykładach – 30 h
b) obecność na ćwiczeniach – 30h
c) obecność na egzaminie – 5 h
d) konsultacje – 5 h
Razem 70 h, co odpowiada 3 pkt. ECTS
- Język prowadzenia zajęć:
- polski
- Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje w ramach zajęć o charakterze praktycznym:
- .
- Formy zajęć i ich wymiar w semestrze:
-
- Wykład30h
- Ćwiczenia30h
- Laboratorium0h
- Projekt0h
- Lekcje komputerowe0h
- Wymagania wstępne:
- Rachunek prawdopodobieństwa, Procesy stochastyczne.
- Limit liczby studentów:
- bez limitu
- Cel przedmiotu:
- Wprowadzenie do analizy stochastycznej: teorii całki stochastycznej oraz stochastycznych równań różniczkowych które są podstawowymi narzędziami w modelowaniu zjawisk fizyce i biologii i w finansach.
- Treści kształcenia:
- 1. Martyngały - definicja i podstawowe własności.
2. Momenty stopu. Twierdzenie Dooba.
3. Rozkład Dooba. Zagadnienie optymalnego stopowania.
4. Martyngały z czasem ciągłym.
5. Martyngały lokalne.
6. Absolutna ciągłość i równoważność miar probabilistycznych. Abstrakcyjny wzór Bayesa.
7. Proces Wienera - własności trajektorii.
8. Całka Itô - definicja i podstawowe własności.
9. Wzór Itô i jego zastosowania.
10. Stochastyczne równania różniczkowe - istnienie rozwiązań dla równań o
współczynnikach lipschitzowskich, jawna postać dla równań o stałych współczynnikach.
11. Twierdzenie o reprezentacji martyngałów. Twierdzenie P. Levy’ego.
12. Twierdzenie Girsanowa i jego zastosowania.
- Metody oceny:
- Zaliczenie na podstawie egzaminu pisemnego i wyniku z ćwiczeń. Szczegóły będą podane na pierwszych zajęciach.
- Egzamin:
- tak
- Literatura:
- 1. Matematyka finansowa instrumenty pochodne. Jakubowski Jacek, Palczewski Andrzej, Rutkowski Marek, Stettner Łukasz, WNT 2006.
2. Karatzas I, Shreve S. “Brownian Motion and Stochastic Calculus”, Springer
- Witryna www przedmiotu:
- brak
- Uwagi:
- .
Efekty uczenia się
Profil ogólnoakademicki - wiedza
- Efekt PAS_W01
- Ma ogólną wiedzę z teorii martyngałów (Twierdzenia o zbieżności, nierówności martyngałowe)
Weryfikacja: egzamin
Powiązane efekty kierunkowe:
M2_W01, M2MUF_W01
Powiązane efekty obszarowe:
,
- Efekt PAS_W02
- Rozumie i potrafi wytłumaczyć konstrukcję całki Itô
Weryfikacja: egzamin
Powiązane efekty kierunkowe:
M2_W01, M2MUF_W01
Powiązane efekty obszarowe:
,
- Efekt PAS_W03
- Zna wzór Itô
Weryfikacja: egzamin
Powiązane efekty kierunkowe:
M2_W01, M2MUF_W01
Powiązane efekty obszarowe:
,
- Efekt PAS_W04
- Zna twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności stochastycznych równań różniczkowych i różne metody ich rozwiązywania.
Weryfikacja: egzamin
Powiązane efekty kierunkowe:
M2_W01, M2MUF_W01
Powiązane efekty obszarowe:
,
- Efekt PAS_W05
- Zna eksponentę stochastyczną.
Weryfikacja: Egzamin
Powiązane efekty kierunkowe:
M2_W01, M2MUF_W01
Powiązane efekty obszarowe:
,
- Efekt PAS_W06
- Zna Twierdzenie o reprezentacji martyngałowej i Twierdzenie Girsanowa.
Weryfikacja: Egzamin
Powiązane efekty kierunkowe:
M2_W01, M2MUF_W01
Powiązane efekty obszarowe:
,
Profil ogólnoakademicki - umiejętności
- Efekt PAS_U01
- Potrafi badać zbieżność martyngałów
Weryfikacja: Kolokwium i egzamin
Powiązane efekty kierunkowe:
M2MUF_U17
Powiązane efekty obszarowe:
- Efekt PAS_U02
- Potrafi zastosować wzór Itô.
Weryfikacja: Kolokwium i egzamin
Powiązane efekty kierunkowe:
M2MUF_U17
Powiązane efekty obszarowe:
- Efekt PAS_U03
- Potrafi korzystać z twierdzeń o istnieniu i jednoznaczność rozwiązań stochastycznych równań różniczkowych
Weryfikacja: Kolokwium i egzamin
Powiązane efekty kierunkowe:
M2MUF_U17
Powiązane efekty obszarowe:
- Efekt PAS_U04
- Potrafi rozwiązywać niektóre równania stochastyczne.
Weryfikacja: Kolokwium i egzamin
Powiązane efekty kierunkowe:
M2MUF_U17
Powiązane efekty obszarowe: