Politechnika
Warszawska

Katalog
ECTS

Nazwa przedmiotu:

Podstawy optymalizacji

Koordynator przedmiotu:

dr hab. inż. Andrzej Stachurski

Status przedmiotu:

Obowiązkowy

Poziom kształcenia:

Studia II stopnia

Program:

Informatyka

Grupa przedmiotów:

Przedmioty techniczne - podstawowe

Kod przedmiotu:

POPTY

Semestr nominalny:

1 / rok ak. 2015/2016

Liczba punktów ECTS:

5

Liczba godzin pracy studenta związanych z osiągnięciem efektów uczenia się:

120 godz. łącznie, co obejmuje: 30 godz. - uczestnictwo w wykładach, 6 godz. - praca w laboratorium, zaznajomienie z pracą z pakietami AMPL i MATLAB, 24 godz. - praca w laboratorium; obejmuje realizację krótkich zadań ocenianych bezpośrednio po zajęciach oraz częściową realizację większych zadań typu projektowego, 30 godz. - praca własna przy realizacji większych zadań projektowych, 10 godz. - praca własna: przygotowanie do zajęć laboratoryjnych, 20 godz. - praca własna studenta: przygotowanie do kolokwiów i egzaminu końcowego, (w razie potrzeby uczestnictwo w konsultacjach)..

Liczba punktów ECTS na zajęciach wymagających bezpośredniego udziału nauczycieli akademickich:

30 godz. - uczestnictwo w wykładach, 6 godz. - praca w laboratorium, zaznajomienie z pracą z pakietami AMPL i MATLAB, 24 godz. - praca w laboratorium; obejmuje realizację krótkich zadań ocenianych bezpośrednio po zajęciach oraz częściową realizację większych zadań typu projektowego, w sumie 60 godz. co daje 2 ECTS

Język prowadzenia zajęć:

polski

Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje w ramach zajęć o charakterze praktycznym:

6 godz. - praca w laboratorium, zaznajomienie z pracą z pakietami AMPL i MATLAB, 24 godz. - praca w laboratorium; obejmuje realizację krótkich zadań ocenianych bezpośrednio po zajęciach oraz częściową realizację większych zadań typu projektowego, 30 godz. - praca własna przy realizacji większych zadań projektowych, 10 godz. - praca własna: przygotowanie do zajęć laboratoryjnych, w sumie 70 godz. co daje ok. 2,5 ECTS

Formy zajęć i ich wymiar w semestrze:

• Wykład30h
• Ćwiczenia0h
• Laboratorium30h
• Projekt0h
• Lekcje komputerowe0h

Wymagania wstępne:

Potrzebna jest podstawowa wiedza z zakresu analizy matematycznej oraz algebry liniowej.

Limit liczby studentów:

60

Cel przedmiotu:

• Zapoznanie studentów z wybranymi pakietami modelowania i rozwiązywania zadań optymalizacyjnych (AMPL, LP_SOLVE, MATLAB) oraz z pojęciem optimum, • Przyswojenie wiedzy na temat warunków koniecznych i dostatecznych optymalności dla zadań optymalizacji bez ograniczeń i z ograniczeniami pozwalających na weryfikację poprawności uzyskiwanych z pakietów rozwiązań, • Zaznajomienie z elementami teorii dualności Lagrange'a oraz wybranymi metodami numerycznego rozwiązywania zadań optymalizacji, w tym w szczególności zadań programowania liniowego i kwadratowego, • Zapoznanie studentów z pewnymi rzeczywistymi zastosowaniami metod optymalizacyjnych, formułowaniem modeli optymalizacyjnych oraz różnymi problemami, z którymi mogą się zetknąć w trakcie ich rozwiązywania, oraz praktycznym wykorzystaniem istniejących pakietów optymalizacyjnych.

Treści kształcenia:

Treść wykładu: 1. Zastosowania metod optymalizacyjnych, pojęcia i działy optymalizacji i programowania matematycznego. PROGRAMOWANIE LINIOWE 2. Postać standardowa zadania programowania liniowego, zadania sprzeczne, nieograniczone, warunki optymalności, algebraiczne, sformułowanie metody sympleks, zrewidowana metoda sympleks. 3. Dwufazowa metoda sympleks, znajdowanie początkowego bazowego rozwiązania dopuszczalnego, jednofazowa metoda sympleks (metoda wielkiego "M"). 4. Dualność w zadaniach programowania liniowego. 5. Dualna metoda sympleks, informacja o algorytmach wielomianowych do rozwiązywania zadań programowania liniowego, idea metody Karmarkara. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA BEZ OGRANICZEŃ 6. Pojęcie optimum, warunki konieczne i dostateczne optymalności pierwszego i drugiego rzędu dla różniczkowalnych zadań optymalizacji bez ograniczeń, kryteria weryfikacji warunków optymalności, własności zadań optymalizacji wypukłej. 7. Gradientowe metody rozwiązywania zadań bez ograniczeń, model liniowy i metoda najszybszego spadku, modele kwadratowe i metoda Newtona, zbieżność drugiego rzędu, metody quasinewtonowskie, zbieżność Q-superliniowa. 8. Metody jednostajnych kierunków poprawy, testy stopu w minimalizacji kierunkowej - testy Goldsteina, reguła Armijo, warunki Wolfe’a, gradientowe metody minimalizacji kierunkowej. 9. Bezgradientowe metody minimizacji kierunkowej, metoda sympleks Neldera-Meada jako przykład metody poszukiwań prostych do znalezienia minimum funkcji wielu zmiennych. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Z OGRANICZENIAMI 10. Warunki konieczne optymalności I rzędu (Karusha-Kuhna-Tuckera) i II rzędu dla zadań optymalizacji z ograniczeniami nierównościowymi oraz równościowymi, warunki regularności. Warunki dostateczne optymalności dla zadań optymalizacji nieliniowej z ograniczeniami. 11. Teoria dualności Lagrange'a, pojęcie odstępu dualności, twierdzenia o słabej i silnej dualności. Zadania dualne dla różnych typów zadań programowania liniowego oraz w zadaniach programowania kwadratowego 12. Metody bezpośredniej i uogólnionej eliminacji do rozwiązywania zadań programowania kwadratowego z ograniczeniami równościowymi. Metoda ograniczeń aktywnych do rozwiązywania zadań programowania kwadratowego z ograniczeniami nierównościowymi. 13.. Metody zewnętrznej funkcji kary i wewnętrznej (barierowej) funkcji kary. 14. Metody przesuwanej funkcji kary (metoda rozszerzonej funkcji Lagrange’a), dokładne funkcje kary. 15. Niesympleksowe metody wielomianowe oparte na barierowej logarytmicznej funkcji kary do rozwiązywania zadań programowania liniowego. Zakres ćwiczeń, laboratorium, projektu: Celem zajęć laboratoryjnych jest opanowanie przez studentów praktycznych umiejętności korzystania z metod optymalizacyjnych i przeprowadzania pewnych przykładowych obliczeń w środowisku MATLAB-a oraz AMPL (w ramach programowania liniowego również LP_SOLVE). Pierwsze dwa albo trzy dwugodzinne zajęcia (liczba zależy od rozkładu zajęć w danym semestrze) są poświęcone zapoznaniu studentów z pracą z MATLAB-em oraz AMPL-em. Następnie zajęcia laboratoryjne są podzielone na trzy zasadnicze bloki tematyczne zgodne z programem wykładu: programowanie liniowe, optymalizacja nieliniowa bez ograniczeń i optymalizacja nieliniowa z ograniczeniami. Każdy blok tematyczny składa się z trzech zasadniczych ćwiczeń – dwa z nich są realizowane w środowisku MATLAB-a, studenci mają za zadanie zastosować odpowiednie metody omawiane na wykładzie do rozwiązania prostych zadań przykładowych, trzecie zadanie polega na analizie szerszego przykładu zastosowaniowego, budowie modelu optymalizacyjnego w języku AMPL albo przy użyciu narzędzi dostępnych w środowisku MATLAB-a, rozwiązaniu go w danym środowisku i analizie uzyskanych wyników.

Metody oceny:

Stosowany jest system punktowy: - punkty za wykonanie zadań laboratoryjnych i przygotowanie sprawozdań z ich realizacji (punkty są równo rozdzielone pomiędzy trzy bloki tematyczne: programowanie liniowe, optymalizacja nieliniowa bez ograniczeń, optymalizacja nieliniowa z ograniczeniami, - punkty za egzamin

Egzamin:

tak

Literatura:

Pozycje podstawowe: 1. Stachurski A.: Wprowadzenie do optymalizacji. Oficyna Wydawnicza PW, 2009. 2. Stachurski A., A.P. Wierzbicki: Podstawy optymalizacji, Oficyna Wydawnicza PW, 1999. 3. Brdyś J., A. Ruszczyński: Metody optymalizacji w zadaniach, WNT 1985. 4. Findeisen W., J. Szymanowski i A. Wierzbicki: Teoria i metody optymalizacji. PWN 1977. Pozycje uzupełniające: 1. Bazaraa M.S., Sherali H.D., C.M. Shetty: Nonlinear Programming. Theory and Algorithms. (sec. edition) John Wiley & Sons, New York 1993. 2. Gill P., W. Murray, M. Wright: Practical Optimization. Academic Press 1981. 3. Fletcher R.: Practical Methods of Optimization. (sec. edition) John Wiley & Sons, Chichester 1987. 4. Bertsekas D.P.: Nonlinear Programming. Athena Scientific, Belmont, Massachusets 1995. 5. Ruszczyński A.: Nonlinear Optimization. Princeton University Press, 2006. 6. Nocedal J., Wright S.J.:Numerical Optimization. Springer Verlag, Berlin, (first ed. 2000), sec. ed. 2006. 7. Bonans, J.F., Gilbert J.C., Lemarechal C., C.A. Sagastizabal: Numerical Optimization: Theoretical and Practical Aspects. Springer Verlag, Berlin, 2006.

Witryna www przedmiotu:

https://studia.elka.pw.edu.pl/pl/11Z/

Uwagi:

Efekty uczenia się

Profil ogólnoakademicki - wiedza

Efekt W_01

Zna metody sprowadzania zadania programowania liniowego do postaci standardowej oraz metodę sympleks do rozwiązywania zadania w postaci standardowej
Weryfikacja: Egzamin
Powiązane efekty kierunkowe: K_W08, K_W09
Powiązane efekty obszarowe: T2A_W07, T2A_W03

Efekt W_02

Zna teoriię dualności Lagrange’a dla zadań programowania liniowego oraz ogólnych zadań optymalizacji nieliniowej z ograniczeniami
Weryfikacja: Egzamin
Powiązane efekty kierunkowe: K_W08, K_W09
Powiązane efekty obszarowe: T2A_W07, T2A_W03

Efekt W_03

Zna warunki konieczne i dostateczne optymalności dla różniczkowalnych zadań optymalizacji nieliniowej bez ograniczeń
Weryfikacja: Egzamin
Powiązane efekty kierunkowe: K_W08, K_W09
Powiązane efekty obszarowe: T2A_W07, T2A_W03

Efekt W_04

Zna postawowe metody gradientowe i bezgradientowe poszukiwania minimum bez ograniczeń
Weryfikacja: Egzamin
Powiązane efekty kierunkowe: K_W08, K_W09
Powiązane efekty obszarowe: T2A_W07, T2A_W03

Efekt W_05

Zna metody ograniczeń aktywnych oraz funkcji kary do rozwiązywania zadań optymalizacji nieliniowej z ograniczeniami
Weryfikacja: Egzamin
Powiązane efekty kierunkowe: K_W08, K_W09
Powiązane efekty obszarowe: T2A_W07, T2A_W03

Profil ogólnoakademicki - umiejętności

Efekt U_01

Potrafi sprowadzić zadanie programowania liniowego do postaci standardowej i rozwiiązać je za pomocą metody sympleks
Weryfikacja: Egzamin/Sprawozdanie z zadania laboratoryjnego
Powiązane efekty kierunkowe: K_U03, K_U13
Powiązane efekty obszarowe: T2A_U03, T2A_U18

Efekt U_02

Umie znaleźć minimum/maksimum funkcji nieliniowej metodami gradientowymi albo bezgradientowymi
Weryfikacja: Egzamin/Sprawozdanie z zadania laboratoryjnego
Powiązane efekty kierunkowe: K_U03, K_U13
Powiązane efekty obszarowe: T2A_U03, T2A_U18

Efekt U_03

Potrafi sprawdzić, czy dany punkt jest rozwiązaniem różniczkowalnego zadania optymalizacji bez ograniczeń
Weryfikacja: Egzamin/Sprawozdanie z zadania laboratoryjnego
Powiązane efekty kierunkowe: K_U03, K_U13
Powiązane efekty obszarowe: T2A_U03, T2A_U18

Efekt U_04

Potrafi sformułować dualne zadanie Lagrange’a do danego zadania programowania liniowego albo kwadratowego
Weryfikacja: Egzamin/Sprawozdanie z zadania laboratoryjnego
Powiązane efekty kierunkowe: K_U03, K_U13
Powiązane efekty obszarowe: T2A_U03, T2A_U18

Efekt U_05

Potrafi znaleźć rozwiązanie zadania z ograniczeniami za pomocą metod ograniczeń aktywnych oraz metod funkcji kary
Weryfikacja: Egzamin/Sprawozdanie z zadania laboratoryjnego
Powiązane efekty kierunkowe: K_U03, K_U13
Powiązane efekty obszarowe: T2A_U03, T2A_U18

Efekt U_06

Potrafi sprawdzić, czy dany punkt jest rozwiązaniem regularnego, różniczkowalnego zadania optymalizacji z ograniczeniami
Weryfikacja: Egzamin/Sprawozdanie z zadania laboratoryjnego
Powiązane efekty kierunkowe: K_U03, K_U13
Powiązane efekty obszarowe: T2A_U03, T2A_U18

Profil ogólnoakademicki - kompetencje społeczne

Efekt K01

Potrafi formułować model optymalizacyjny (liniowy albo nieliniowy) opisujący pewne typowe problemy praktyczne, zapisać model matematyczny w języku pakietu AMPL albo w języku pakietu MATLAB
Weryfikacja: Sprawozdanie z zadania laboratoryjnego
Powiązane efekty kierunkowe: K_K01
Powiązane efekty obszarowe: T2A_K06

Efekt K02

Potrafi znaleźć rozwiązanie za pomocą narzędzi ze skrzynki narzędziowej MATLAB-a, albo odpowiedniego, dołączonego do AMPL solwera (MINOS lub CPLEX) albo programu LP_SOLVE
Weryfikacja: Sprawozdanie z zadania laboratoryjnego
Powiązane efekty kierunkowe: K_K01
Powiązane efekty obszarowe: T2A_K06